Гармонічні коливання - коливання, які здійснюються за законами синуса та косинуса. На наступному малюнку представлений графік зміни координати точки з часом за законом косинуса.
малюнок
Амплітуда коливань
Амплітудою гармонійного коливання називається найбільше значення усунення тіла від положення рівноваги. Амплітуда може набувати різних значень. Вона залежатиме від того, наскільки ми змістимо тіло в початковий час від положення рівноваги.
Амплітуда визначається початковими умовами, тобто енергією тілу, що повідомляється в початковий момент часу. Так як синус і косинус можуть набувати значення в діапазоні від -1 до 1, то в рівнянні повинен бути множник Xm, що виражає амплітуду коливань. Рівняння руху при гармонійних коливаннях:
x = Xm * cos (ω0 * t).
Період коливань
Період коливань – це час здійснення одного повного коливання. Період коливання позначається буквою Т. Одиниці виміру періоду відповідають одиницям часу. Тобто в СІ – це секунди.
Частота коливань – кількість коливань скоєних за одиницю часу. Частота коливань позначається буквою ν. Частоту коливань можна виразити через період коливання.
ν = 1/Т.
Одиниці вимірювання частоти СІ 1/сек. Ця одиниця виміру отримала назву Герца. Число коливань за час 2*pi секунд дорівнюватиме:
ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.
Частота коливань
Ця величина називається циклічною частотою коливань. У деякій літературі трапляється назва кругова частота. Власна частота коливальної системи – частота вільних коливань.
Частота власних коливань розраховується за такою формулою:
Частота своїх коливань залежить від властивостей матеріалу та маси вантажу. Чим більша жорсткість пружини, тим більша частота власних коливань. Чим більша маса вантажу, тим менша частота власних коливань.
Ці два висновки очевидні. Чим жорсткіша пружина, тим більше прискорення вона повідомить тілу, при виведенні системи з рівноваги. Чим більша маса тіла, тим повільніше змінюватиметься ця швидкість цього тіла.
Період вільних коливань:
T = 2*pi/ω0 = 2*pi*√(m/k)
Примітний той факт, що при малих кутах відхилення період коливання тіла на пружині та період коливання маятника не залежатимуть від амплітуди коливань.
Запишемо формули періоду та частоти вільних коливань для математичного маятника.
тоді період дорівнюватиме
T = 2*pi*√(l/g).
Ця формула буде справедлива лише малих кутів відхилення. З формули бачимо, що період коливань зростає із збільшенням довжини нитки маятника. Чим більше буде довжина, тим повільніше тіло коливатиметься.
Від маси вантажу період коливань не залежить. Натомість залежить від прискорення вільного падіння. При зменшенні g період коливань буде збільшуватися. Ця властивість широко використовують на практиці. Наприклад, вимірювання точного значення вільного прискорення.
Важливий фізичний параметр, необхідний вирішення багатьох завдань акустики і радіоелектроніки. Її можна вирахувати кількома способами, залежно від того, які параметри задано. Найзручніше це робити, знаючи частоту чи період та швидкість поширення.
Формули
Основна формула, яка відповідає на питання про те, як знайти довжину хвилі через частоту, представлена нижче:
Тут l - довжина хвилі в метрах, v - швидкість її поширення м/c, u - лінійна частота в герцах.
Оскільки частота пов'язана з періодом зворотним співвідношенням, попередній вираз можна записати інакше:
Т – період коливань у секундах.
Можна виразити цей параметр через циклічну частоту та фазову швидкість:
l = 2 pi*v/w
У цьому виразі w – циклічна частота, виражена в радіанах за секунду.
Частота хвилі через довжину, як можна помітити з попереднього виразу, знаходиться так:
Розглянемо електромагнітну хвилю, яка поширюється на речовині з n. Тоді частота хвилі через довжину виражається таким відношенням:
Якщо вона поширюється у вакуумі, то n = 1, і вираз набуває наступного вигляду:
В останній формулі частота хвилі через довжину виражається за допомогою константи з - швидкості світла у вакуумі, = 300000 км/c.
Час, протягом якого відбувається одна повна зміна ЕРС, тобто один цикл коливання або один повний оборот радіуса-вектора, називається періодом коливання змінного струму(Малюнок 1).
Малюнок 1. Період та амплітуда синусоїдального коливання. Період – час одного коливання; Аплітуда – його найбільше миттєве значення.
Період виражають у секундах та позначають буквою Т.
Також використовуються дрібніші одиниці виміру періоду це мілісекунда (мс)- одна тисячна секунди і мікросекунда (мкс)- одна мільйонна секунди.
1 мс = 0,001 сек = 10 -3 сек.
1 мкс = 0,001 мс = 0,000001сек = 10 -6 сек.
1000 мкс = 1 мс.
Число повних змін ЕРС або кількість обертів радіуса-вектора, тобто інакше кажучи, кількість повних циклів коливань, що здійснюються змінним струмом протягом однієї секунди, називається частотою коливань змінного струму.
Частота позначається буквою f і виявляється у періодах на секунду чи герцах.
Одна тисяча герц називається кілогерцем (кГц), а мільйон герц – мегагерцем (МГц). Існує так само одиниця гігагерц (ГГц), що дорівнює одній тисячі мегагерц.
1000 Гц = 103 Гц = 1 кГц;
1000000 Гц = 106 Гц = 1000 кГц = 1 МГц;
1000000000 Гц = 10 9 Гц = 1000 000 кГц = 1000 МГц = 1 ГГц;
Чим швидше відбувається зміна ЕРС, тобто чим швидше обертається радіус-вектор, тим менший період коливання Чим швидше обертається радіус-вектор, тим вища частота. Таким чином, частота та період змінного струму є величинами, обернено пропорційними один одному. Чим більше одна з них, тим менша інша.
Математичний зв'язок між періодом та частотою змінного струму та напруги виражається формулами
Наприклад, якщо частота струму дорівнює 50 Гц, то період дорівнюватиме:
Т=1/f=1/50=0,02 сек.
І навпаки, якщо відомо, що період струму дорівнює 0,02 сек, (T=0,02 сек.), то частота дорівнюватиме:
f = 1/T = 1/0,02 = 100/2 = 50 Гц
Частота змінного струму, що використовується для освітлення та промислових цілей, якраз і дорівнює 50 Гц.
Частоти від 20 до 20000 Гц називаються звуковими частотами. Струми в антена радіостанцій коливаються з частотами до 1 500 000 000 Гц або, інакше кажучи, до 1 500 МГц або 1,5 ГГц. Такі високі частоти називають радіочастотами або коливаннями високої частоти.
Нарешті, струми в антенах станцій радіолокацій, станцій супутникового зв'язку, інших спецсистем (наприклад ГЛАНАСС, GPS) коливаються з частотами до 40 000 МГц (40 ГГц) і вище.
Амплітуда змінного струму
Найбільше значення, якого досягає ЕРС чи сила струму за період, називається амплітудою ЕРС чи сили змінного струму. Легко помітити, що амплітуда в масштабі дорівнює довжині радіусу-вектора. Амплітуди струму, ЕРС та напруги позначаються відповідно літерами Im, Em та Um (Малюнок 1).
Кутова (циклічна) частота змінного струму.
Швидкість обертання радіуса-вектора, тобто зміна величини кута повороту протягом однієї секунди, називається кутовою (циклічною) частотою змінного струму і позначається грецькою літерою ? (Омега). Кут повороту радіуса-вектора у будь-який момент щодо його початкового положення вимірюється зазвичай над градусах, а спеціальних одиницях - радіанах.
Радіаном називається кутова величина дуги кола, довжина якої дорівнює радіусу цього кола (рисунок 2). Все коло, що становить 360 °, дорівнює 6,28 радіан, тобто 2.
Малюнок 2.
1рад = 360 ° / 2
Отже, кінець радіусу-вектора протягом одного періоду пробігають шлях, що дорівнює 6,28 радіан (2). Так як протягом однієї секунди радіус-вектор здійснює число обертів, що дорівнює частоті змінного струму. f, то за одну секунду його кінець пробігає шлях, рівний 6,28*fрадіан. Це вираз, що характеризує швидкість обертання радіуса-вектора, і буде кутовий частотою змінного струму -? .
? = 6,28 * f = 2f
Кут повороту радіуса-вектора будь-якої миті щодо його початкового положення називається фазою змінного струму. Фаза характеризує величину ЕРС (або струму) в дану мить або, як то кажуть, миттєве значення ЕРС, її напрям у ланцюгу та напрям її зміни; фаза показує, чи зменшується ЕРС чи зростає.
Малюнок 3.
Повний оборот радіуса-вектора дорівнює 360 °. З початком нового обороту радіуса-вектора зміна ЕРС відбувається у тому порядку, як і протягом першого обороту. Отже, всі фази ЕРС повторюватимуться у колишньому порядку. Наприклад, фаза ЕРС при повороті радіуса-вектора на кут 370° буде такою ж, як і при повороті на 10°. В обох випадках радіус-вектор займає однакове положення, і, отже, миттєві значення ЕРС будуть в обох випадках однаковими по фазі.
При вивченні цього розділу слід мати на увазі, що коливанняРізної фізичної природи описуються з єдиних математичних позицій. Тут треба чітко усвідомити такі поняття, як гармонійне коливання, фаза, різницю фаз, амплітуда, частота, період коливання.
Треба пам'ятати, що у будь-якій реальній коливальній системі є опору середовища, тобто. коливання будуть загасаючими. Для характеристики загасання коливань вводиться коефіцієнт загасання та логарифмічний декремент згасання.
Якщо коливання відбуваються під дією зовнішньої сили, що періодично змінюється, то такі коливання називають вимушеними. Вони будуть незагасаючими. Амплітуда вимушених коливань залежить від частоти сили, що змушує. При наближенні частоти вимушених коливань до частоти власних коливань амплітуда вимушених коливань різко зростає. Це називається резонансом.
Переходячи до вивчення електромагнітних хвиль потрібно чітко уявляти, щоелектромагнітна хвиля- це електромагнітне поле, що розповсюджується в просторі. Найпростішою системою, що випромінює електромагнітні хвилі, є електричний диполь. Якщо диполь здійснює гармонійні коливання, він випромінює монохроматичну хвилю.
Таблиця формул: коливання та хвилі
|
Фізичні закони, формули, змінні |
Формули коливання та хвилі |
||||||
|
Рівняння гармонійних коливань: де х - зміщення (відхилення) величини, що коливається від положення рівноваги; А – амплітуда; ω - кругова (циклічна) частота; α - початкова фаза; (ωt+α) - фаза. |
|||||||
|
Зв'язок між періодом та круговою частотою: |
|||||||
|
Частота: |
|||||||
|
Зв'язок кругової частоти з частотою: |
|||||||
|
Періоди власних коливань 1) пружинного маятника: де k – жорсткість пружини; 2) математичного маятника: де l - довжина маятника, g – прискорення вільного падіння; 3) коливального контуру: де L - індуктивність контуру, С – ємність конденсатора. |
|
||||||
|
Частота своїх коливань: |
|||||||
|
Складання коливань однакової частоти та напряму: 1) амплітуда результуючого коливання де А 1 і А 2 - амплітуди складових коливань, α 1 і α 2 - початкові фази складових коливань; 2) початкова фаза результуючого коливання |
|
||||||
|
Рівняння загасаючих коливань: е = 2,71... - основа натуральних логарифмів. |
|
||||||
|
Амплітуда загасаючих коливань: де А 0 - Амплітуда в початковий момент часу; β - коефіцієнт загасання; |
|
||||||
|
Коефіцієнт згасання: вагаючого тіла де r - коефіцієнт опору середовища, m – маса тіла; коливального контуру де R - активний опір, L – індуктивність контуру. |
|||||||
|
Частота загасаючих коливань ω: |
|
||||||
|
Період загасаючих коливань Т: |
|
||||||
|
Логарифмічний декремент згасання: |
|
||||||
|
Зв'язок логарифмічного декременту і коефіцієнта загасання β: |
|||||||
|
Амплітуда вимушених коливань де ω - частота вимушених коливань, f про - наведена амплітуда примушує сили, при механічних коливаннях: при електромагнітних коливаннях: |
|
Функція ЧАСТОТА використовується визначення кількості входження певних величин в заданий інтервал і повертає дані як масиву значень. Використовуючи функцію частоти, ми дізнаємося, як порахувати частоту в Excel.
Приклад використання функції ЧАСТОТА в Excel
Приклад 1. Студенти однієї з груп в університеті склали іспит з фізики. Оцінюючи якості складання іспиту використовується 100-бальная система. Для визначення остаточної оцінки за 5-бальною системою використовують наступні критерії:
- Від 0 до 50 балів – іспит не складено.
- Від 51 до 65 балів – оцінка 3.
- Від 66 до 85 балів – оцінка 4.
- Понад 86 балів – оцінка 5.
Для статистики необхідно визначити, скільки студентів отримали 5, 4, 3 бали та кількість тих, кому не вдалося скласти іспит.
Внесемо дані до таблиці:
Для вирішення виділимо області з 4 осередків та введемо таку функцію:
Опис аргументів:
- B3:B20 – масив даних щодо оцінок студентів;
- D3:D5 – масив критеріїв знаходження частоти входження в масиві даних про оцінки.
Виділяємо діапазон F3:F6 тиснемо спочатку клавішу F2, а потім комбінацію клавіш Ctrl+Shift+Enter, щоб функція ЧАСТОТА була виконана в масиві. Підтвердженням того, що все зроблено правильно, будуть служити фігурні дужки () у рядку формул по краях. Це означає, що формула виконується у масиві. В результаті отримаємо:
Тобто, 6 студентів не склали іспит, оцінки 3, 4 та 5 отримали 3, 4 та 5 студентів відповідно.
Приклад визначення ймовірності, використовуючи функцію ЧАСТОТА в Excel
Приклад 2. Відомо те, що якщо існує лише два можливі варіанти розвитку подій, ймовірності першого та другого дорівнюють 0,5 відповідно. Наприклад, ймовірності випадання "орла" або "решки" у підкинутої монетки рівні ½ і ½ (якщо знехтувати можливістю падіння монетки на ребро). Аналогічний розрахунковий розподіл ймовірностей характерний для наступної функції ВИМІЧ(1;2), яка повертає випадкове число в інтервалі від 1 до 2. Було проведено 20 обчислень з використанням цієї функції. Визначити фактичні ймовірності появи чисел 1 та 2 відповідно на підставі отриманих результатів.
Заповнимо вихідну таблицю випадковими значеннями від 1-го до 2-ух:
Для визначення випадкових значень у вихідній таблиці було використано спеціальну функцію:
ВИПАД МІЖ(1;2)
Для визначення кількості згенерованих 1 та 2 використовуємо функцію:
ЧАСТОТА (A2: A21; 1)
Опис аргументів:
- A2:A21 – масив згенерованих функцією = ВИПАД МІЖ(1;2) значень;
- 1 – критерій пошуку (функція ЧАСТОТА шукає значення від 0 до 1 включно та значення >1).
В результаті отримаємо:
Обчислимо ймовірності, розділивши кількість подій кожного типу на їх загальне число:
Для підрахунку кількості подій використовуємо функцію =РАХУНОК($A$2:$A$21). Або можна просто розділити на значення 20. Якщо заздалегідь не відома кількість подій і розмір діапазону з випадковими значеннями, тоді можна використовувати в аргументах функції РАХУНОК посилання на цілий стовпець: =РАХУНОК(A:A). Таким чином, автоматично підраховується кількість чисел у стовпці A.
Імовірності випадання «1» та «2» - 0,45 та 0,55 відповідно. Не забудьте присвоїти осередкам E2:E3 відсотковий формат для відображення їх значень у відсотках: 45% та 55%.
Тепер скористаємося складнішою формулою для обчислення максимальної частоти повторів:
!}
Формули в осередках F2 і F3 відрізняються лише одним числом після оператора порівняння «не дорівнює»:<>1 і<>2.
Цікавий факт!За допомогою цієї формули можна легко перевірити, чому не працює стратегія подвоєння ставок у рулетці казино. Цю стратегію управління ставками в азартних іграх називають ще Мартінгейл. Справа в тому, що кількість випадкових повторів поспіль може досягати 18 разів і більше, тобто вісімнадцять разів поспіль червоні або чорні. Наприклад, якщо ставку в 2 долари 18 разів подвоювати – це вже понад півмільйона доларів «просідання». Це вже провал з будь-яких технік планування ризиків. Також слід враховувати, що окрім «чорні» та «червоні» іноді випадає ще й «зеро», що остаточно знищує всі шанси. Також цікаво, що сума всіх чисел у рулетці від 0 до 36 дорівнює 666.
Як порахувати неповторні значення в Excel?
Приклад 3. Визначити кількість унікальних входжень в масив числових даних, тобто значень, що не повторюються.
Вихідна таблиця:
Визначимо шукану величину за допомогою формули:
!}В даному випадку функція ЧАСТОТА виконує перевірку наявності кожного з елементів масиву даних у цьому ж масиві даних (обидва аргументи збігаються). За допомогою функції ЯКЩО задана умова, яка має наступний зміст:
- Якщо елемент міститься в діапазоні значень, замість фактичної кількості входжень буде повернуто 1;
- Якщо елемента немає – буде повернуто 0 (нуль).
Отримане значення (кількість одиниць) підсумовується.
В результаті отримаємо:
Тобто у зазначеному масиві міститься 8 унікальних значень.
Функція ЧАСТОТА в Excel та особливості її синтаксису
Ця функція має наступний синтаксичний запис:
Опис аргументів функції (обидва обов'язкові для заповнення):
- массив_данных – дані у вигляді масиву чи посилання діапазон значень, котрим необхідно визначити частоти.
- масив_інтервалів - дані у форматі масиву чи посилання небагато значень, у яких групуються значення першого аргументу цієї функції.
Примітки 1:
- Якщо як аргумент масив_інтервалів було передано порожній масив або посилання на діапазон порожніх значень, результатом виконання функції ЧАСТОТА буде число елементів, що входять діапазон даних, які були передані як перший аргумент.
- При використанні функції ЧАСТОТА як звичайна функція Excel буде повернено єдине значення, що відповідає першому входженню в масив_інтервалів (тобто, першому критерію пошуку частоти входження).
- Масив елементів, що повертаються даною функцією, містить на один елемент більше, ніж кількість елементів, що містяться в масив_інтервалів. Це тому, що функція ЧАСТОТА обчислює також кількість входжень величин, значення яких перевищують верхню межу інтервалів. Наприклад, у наборі даних 2,7, 10, 13, 18, 4, 33, 26 необхідно знайти кількість входження величин з діапазонів від 1 до 10, від 11 до 20, від 21 до 30 і більше 30. Масив інтервалів повинен містити тільки їх граничні значення, тобто 10, 20 і 30. Функція може бути записана в наступному вигляді: =ЧАСТОТА((2;7;10;13;18;4;33;26);(10;20;30)), а результатом її виконання буде стовпець з чотирьох осередків, які містять наступні значення: 4,2, 1, 1. Останнє значення відповідає кількості входів чисел > 30 масив_даних. Таке число справді є єдиним – це 33.
- Якщо до складу масив_даних входять комірки, що містять порожні значення або текст, вони будуть пропущені функцією ЧАСТОТА у процесі обчислень.
Примітки 2:
- Функція може використовуватися до виконання статистичного аналізу, наприклад, з визначення найбільш затребуваних для покупців найменувань продукції.
- Ця функція повинна бути використана як формула масиву, оскільки дані, що їй повертаються, мають форму масиву. Для виконання звичайних формул після їхнього введення необхідно натиснути кнопку Enter. У цьому випадку потрібно використовувати комбінацію клавіш Ctrl+Shift+Enter.
ЧАСТОТА(масив_даних;масив_інтервалів)