Імовірністю події $А$ називається відношення числа сприятливих для $А$ результатів до всіх рівноможливих результатів
$P(A)=(m)/(n)$, де $n$ – загальна кількість можливих результатів, а $m$ – кількість результатів, які сприяють події $А$.
Імовірність події - це число з відрізка $$
У фірмі таксі є $50$ легкових автомобілів. $35$ їх чорні, інші - жовті.
Знайдіть ймовірність, що на випадковий виклик приїде машина жовтого кольору.
Знайдемо кількість жовтих автомобілів:
Усього є $50$ автомобілів, тобто на виклик приїде одна із п'ятдесяти. Жовтих автомобілів $15$, отже, ймовірність приїзду саме жовтого автомобіля дорівнює $(15)/(50)=(3)/(10)=0,3$
Відповідь: $ 0,3 $
Протилежні події
Дві події називаються протилежними, якщо в даному випробуванні вони несумісні та одна з них обов'язково відбувається. Імовірності протилежних подій у сумі дають 1.Подія, протилежна до події $А$, записують $((А))↖(-)$.
$Р(А)+Р((А))↖(-)=1$
Незалежні події
Дві події $А$ і $В$ називаються незалежними, якщо ймовірність появи кожного з них не залежить від того, з'явилася інша подія чи ні. В іншому випадку події називаються залежними.
Імовірність твору двох незалежних подій $A$ і $B$ дорівнює твору цих ймовірностей:
$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$
Іван Іванович купив два різні лотерейні квитки. Імовірність того, що виграє перший лотерейний квиток дорівнює $0,15$. Імовірність того, що виграє другий лотерейний квиток дорівнює $0,12$. Іван Іванович бере участь у обох розіграшах. Вважаючи, що розіграші проводяться незалежно один від одного, знайдіть ймовірність того, що Іван Іванович виграє в обох розіграшах.
Імовірність $Р(А)$ - виграє перший квиток.
Імовірність $Р(В)$ - виграє другий квиток.
Імовірність твору двох незалежних подій $A$ і $B$ дорівнює твору цих ймовірностей:
Події $А$ та $В$ – це незалежні події. Тобто, щоб знайти ймовірність того, що вони відбудуться обидві події, потрібно знайти твір ймовірностей
$ Р = 0,15 · 0,12 = 0,018 $
Відповідь: $0,018$
Несумісні події
Дві події $А$ і $В$ називають несумісними, якщо відсутні результати, що сприяють одночасно як події $А$, і події $В$. (Події, які не можуть статися одночасно)
Імовірність суми двох несумісних подій $A$ і $B$ дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
На іспиті з алгебри школяру дістається одне питання їх усіх екзаменаційних. Імовірність того, що це питання на тему «Квадратні рівняння» дорівнює $0,3$. Імовірність того, що це питання на тему «Ірраціональні рівняння» дорівнює $0,18$. Запитань, які одночасно стосуються цих двох тем, немає. Знайдіть ймовірність того, що на іспиті школяру дістанеться питання з однієї з цих двох тем.
Дані події називаються несумісні, оскільки школяреві дістанеться питання або на тему «Квадратні рівняння», або на тему «Ірраціональні рівняння». Водночас теми не можуть потрапити. Імовірність суми двох несумісних подій $A$ і $B$ дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
Імовірність суми двох несумісних подій $A$ і $B$ дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
$ Р = 0,3 +0,18 = 0,48 $
Відповідь: $0,48$
Спільні події
Дві події називаються спільними, якщо поява одного з них не виключає появу іншого в тому самому випробуванні. В іншому випадку події називаються несумісними.
Імовірність суми двох спільних подій $A$ і $B$ дорівнює сумі ймовірностей цих подій мінус ймовірність їхнього твору:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А В)$
У холі кінотеатру два однакові автомати продають каву. Імовірність того, що до кінця дня в автоматі закінчиться кава, дорівнює $0,6$. Імовірність того, що кава закінчиться в обох автоматах, дорівнює $0,32$. Знайдіть ймовірність того, що до кінця дня кава закінчиться хоч би в одному з автоматів.
Позначимо події, хай:
$А$ = кава закінчиться в першому автоматі,
$В$ = кава закінчиться у другому автоматі.
$A·B =$ кава закінчиться в обох автоматах,
$A + B =$ кава закінчиться хоча б в одному автоматі.
За умовою $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = 0,32 $.
Події $A$ і $B$ спільні, ймовірність суми двох спільних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, зменшеної на ймовірність їх твору:
$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$
Наведені на даний момент у відкритому банку завдань ЄДІ з математики (mathege.ru), вирішення яких засноване на одній лише формулі, що є класичним визначенням ймовірності.
Зрозуміти формулу найпростіше на прикладах.
приклад 1.У кошику 9 червоних кульок та 3 синіх. Кулі відрізняються лише кольором. Навмання (не дивлячись) дістаємо один із них. Яка ймовірність того, що обрана таким чином куля виявиться синього кольору?
Коментар.У завданнях з теорії ймовірності відбувається щось (у разі наша дія з витягування кулі), що може мати різний результат - результат. Потрібно помітити, що результат можна дивитися по-різному. "Ми витягли якусь кулю" - теж результат. "Ми витягли синю кулю" - результат. "Ми витягли саме ось цю кулю з усіх можливих куль" - такий найменш узагальнений погляд на результат називається елементарним результатом. Саме елементарні результати маються на увазі у формулі для обчислення ймовірності.
Рішення.Тепер обчислимо можливість вибору синьої кулі.
Подія А: "вибрана куля виявилася синього кольору"
Загальна кількість всіх можливих результатів: 9+3=12 (кількість всіх куль, які ми могли б витягнути)
Число сприятливих для події А результатів: 3 (кількість таких результатів, при яких подія А сталася, тобто кількість синіх куль)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Відповідь: 0,25
Порахуємо для тієї ж задачі можливість вибору червоної кулі.
Загальна кількість можливих наслідків залишиться тим же, 12. Число сприятливих наслідків: 9. Шукана ймовірність: 9/12=3/4=0,75
Імовірність будь-якої події завжди лежить у межах від 0 до 1.
Іноді у повсякденному мовленні (але не теоретично ймовірності!) ймовірність подій оцінюють у відсотках. Перехід між математичною та розмовною оцінкою здійснюється шляхом множення (або поділу) на 100%.
Отже,
При цьому ймовірність дорівнює нулю у подій, які не можуть статися – неймовірні. Наприклад, у нашому прикладі це була б можливість витягнути з кошика зелену кулю. (Кількість сприятливих результатів дорівнює 0, Р(А)=0/12=0, якщо вважати за формулою)
Імовірність 1 мають події, які абсолютно точно відбудуться без варіантів. Наприклад, ймовірність того, що «обрана куля виявиться або червоною або синьою» - для нашого завдання. (Кількість сприятливих результатів: 12, Р(А)=12/12=1)
Ми розглянули класичний приклад, що ілюструє визначення ймовірності. Усі подібні завдання ЄДІ з теорії ймовірності вирішуються застосуванням цієї формули.
На місці червоних та синіх куль можуть бути яблука та груші, хлопчики та дівчатка, вивчені та невивчені квитки, квитки, що містять та не містять питання з якоїсь теми (прототипи , ), браковані та якісні сумки або садові насоси (прототипи , ) – принцип залишається тим самим.
Дещо відрізняються формулюванням завдання теорії ймовірності ЄДІ, де потрібно обчислити ймовірність випадання якоїсь події на певний день. ( , ) Як і попередніх завданнях потрібно визначити, що є елементарним результатом, після чого застосувати ту ж формулу.
приклад 2.Конференція триває три дні. Першого і другого дня виступають по 15 доповідачів, третього дня – 20. Яка ймовірність того, що доповідь професора М. випаде на третій день, якщо порядок доповідей визначається жеребкуванням?
Що є елементарним результатом? – Присвоєння доповіді професора одного з усіх можливих порядкових номерів для виступу. У жеребкуванні бере участь 15+15+20=50 осіб. Таким чином, доповідь професора М. може отримати один із 50 номерів. Значить, і елементарних результатів лише 50.
А які результати сприятливі? – Ті, за яких виявиться, що професор виступатиме третього дня. Тобто останні 20 номерів.
За формулою ймовірність P(A)=20/50=2/5=4/10=0,4
Відповідь: 0,4
Жеребкування тут є встановленням випадкової відповідності між людьми і впорядкованими місцями. У прикладі 2 встановлення відповідності розглядалося з погляду того, яке з місць могла б зайняти конкретна людина. Можна до тієї ж ситуації підходити з іншого боку: хто з людей з якою ймовірністю міг би потрапити на конкретне місце (прототипи , , , ):
приклад 3.У жеребкуванні беруть участь 5 німців, 8 французів та 3 естонці. Яка ймовірність того, що першим (/другим/сьомим/останнім – не важливо) виступатиме француз.
Кількість елементарних результатів – кількість всіх можливих людей, які могли б по жеребкуванню потрапити на це місце. 5+8+3=16 осіб.
Сприятливі наслідки – французи. 8 людей.
Шукана ймовірність: 8/16=1/2=0,5
Відповідь: 0,5
Трохи відрізняється прототип. Залишилися завдання про монети () та гральні кістки (), дещо творчіші. Вирішення цих завдань можна переглянути на сторінках прототипів.
Наведемо кілька прикладів на кидання монети чи кубика.
приклад 4.Коли підкидаємо монету, якою є ймовірність випадання решки?
Виходів 2 – орел чи решка. (Вважається, що монета ніколи не падає на ребро) Сприятливий результат - решка, 1.
Можливість 1/2=0,5
Відповідь: 0,5.
Приклад 5.А якщо підкидаємо монету двічі? Яка ймовірність того, що обидва рази випаде орел?
Головне визначити, які елементарні результати розглядатимемо під час підкидання двох монет. Після підкидання двох монет може вийти один із наступних результатів:
1) PP – обидва рази випала решка
2) PO – перший раз решка, вдруге орел
3) OP – вперше орел, вдруге решка
4) OO – обидва рази випав орел
Інших варіантів немає. Отже, елементарних результатів 4. Сприятливий їх лише перший, 1.
Імовірність: 1/4 = 0,25
Відповідь: 0,25
Яка ймовірність того, що із двох підкидань монети один раз випаде решка?
Кількість елементарних результатів те саме, 4. Сприятливі результати – другий і третій, 2.
Можливість випадання однієї решки: 2/4=0,5
У таких завданнях може стати в нагоді ще одна формула.
Якщо при одному киданні монети можливих варіантів результату у нас 2, то для двох кидання результатів буде 2 2 = 2 2 = 4 (як у прикладі 5), для трьох кидання 2 2 2 2 2 3 = 8, для чотирьох: 2·2·2·2=2 4 =16, … для N кидання можливих результатів буде 2·2·...·2=2 N .
Так, можна знайти можливість випадання 5 решок з 5 кидань монети.
Загальна кількість елементарних результатів: 25 =32.
Сприятливі результати: 1. (РРРРР – всі 5 разів решка)
Імовірність: 1/32 = 0,03125
Те ж саме і для гральної кістки. При одному киданні можливих результатів тут 6. Значить, для двох кидань: 6 · 6 = 36, для трьох 6 · 6 · 6 = 216, і т. д.
Приклад 6.Кидаємо гральну кістку. Якою є ймовірність, що випаде парне число?
Усього результатів: 6, за кількістю граней.
Сприятливих: 3 результати. (2, 4, 6)
Імовірність: 3/6 = 0,5
Приклад 7.Кидаємо дві гральні кістки. Яка ймовірність, що у сумі випаде 10? (округлити до сотих)
Для одного кубика 6 можливих наслідків. Значить, для двох, за вищезгаданим правилом, 6 · 6 = 36.
Які результати будуть сприятливими у тому, щоб у сумі випало 10?
10 треба розкласти у сумі двох чисел від 1 до 6. Це можна зробити двома способами: 10=6+4 і 10=5+5. Отже, для кубиків можливі варіанти:
(6 на першому та 4 на другому)
(4 на першому та 6 на другому)
(5 на першому та 5 на другому)
Разом, 3 варіанти. Шукана ймовірність: 3/36=1/12=0,08
Відповідь: 0,08
Інші типи завдань B6 будуть розглянуті в одній із таких статей «Як вирішувати».
В-6-2014 (всі 56 прототипів з банку ЄДІ)
Вміти будувати та досліджувати найпростіші математичні моделі (теорія ймовірностей)
1.У випадковому експерименті кидають дві гральні кістки. Знайдіть ймовірність того, що у сумі випаде 8 очок. Результат округліть до сотих.Рішення: Кількість наслідків, при яких в результаті кидка гральних кісток випаде 8 очок, дорівнює 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Кожен із кубиків може випасти шістьма варіантами, тому загальна кількість результатів дорівнює 6·6 = 36. Отже, ймовірність того, що в сумі випаде 8 очок, дорівнює 5: 36=0,138…=0,14
2.У випадковому експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно один раз.Рішення: Рівноможливі 4 результати експерименту: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Орел випадає рівно один раз на два випадки: орел-решка і решка-орел. Тому ймовірність того, що орел випаде рівно один раз, дорівнює 2: 4 = 0,5.
3.У чемпіонаті з гімнастики беруть участь 20 спортсменок: 8 із Росії, 7 із США, решта - з Китаю. Порядок, у якому виступають гімнастки, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсменка, яка виступає першою, виявиться з Китаю.Рішення: У чемпіонаті бере участьспортсменок із Китаю. Тоді ймовірність того, що спортсменка, яка виступає першою, виявиться з Китаю, дорівнює 5: 20 = 0,25
4.У середньому з 1000 садових насосів, що надійшли у продаж, 5 підтікають. Знайдіть ймовірність того, що один випадково вибраний для контролю насос не підтікає.Рішення: У середньому із 1000 садових насосів, що надійшли у продаж, 1000 − 5 = 995 не підтікають. Отже, ймовірність того, що один випадково вибраний для контролю насос не підтікає, дорівнює 995: 1000 = 0,995
5.Фабрика випускає сумки. У середньому на 100 якісних сумок припадає вісім сумок із прихованими дефектами. Знайдіть ймовірність того, що куплена сумка виявиться якісною. Результат округліть до сотих.Рішення: За умовою кожні 100 + 8 = 108 сумок припадає 100 якісних сумок. Значить, ймовірність того, що куплена сумка виявиться якісною, дорівнює 100: 108 = 0,925925 ... = 0,93
6.У змаганнях з штовхання ядра беруть участь 4 спортсмени з Фінляндії, 7 спортсменів із Данії, 9 спортсменів зі Швеції та 5 – з Норвегії. Порядок, у якому виступають спортсмени, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсмен, який виступає останнім, виявиться зі Швеції.. Рішення: Загалом у змаганнях бере участь 4+7+9+5=25 спортсменів. Отже, ймовірність того, що спортсмен, який виступає останнім, виявиться зі Швеції, дорівнює 9:25 = 0,36
7.Наукова конференція проводиться у 5 днів. Усього заплановано 75 доповідей – перші три дні по 17 доповідей, решта розподілено порівну між четвертим та п'ятим днями. Порядок доповідей визначається жеребкуванням. Яка ймовірність, що доповідь професора М. виявиться запланованою на останній день конференції?Рішення: За перші три дні буде прочитано 51 доповідь, на останні два дні планується 24 доповіді. Тож на останній день заплановано 12 доповідей. Отже, ймовірність того, що доповідь професора М. виявиться запланованою на останній день конференції, дорівнює 12: 75 =0,16
8. Конкурс виконавців проводиться в 5 днів. Усього заявлено 80 виступів - по одному від кожної країни. У перший день 8 виступів, інші розподілені порівну між днями, що залишилися. Порядок виступів визначається жеребкуванням. Якою є ймовірність, що виступ представника Росії відбудеться у третій день конкурсу?Рішення: На третій день заплановановиступів. Отже, ймовірність того, що виступ представника з Росії виявиться запланованим на третій день конкурсу, дорівнює 18:80 = 0,225
9.На семінар приїхали 3 вчені з Норвегії, 3 з Росії та 4 з Іспанії. Порядок доповідей визначається жеребкуванням. Знайдіть ймовірність того, що восьмою виявиться доповідь вченого з Росії.Рішення: Загалом у семінарі бере участь 3 + 3 + 4 = 10 вчених, отже, ймовірність того, що вчений, який виступає восьмим, виявиться з Росії, дорівнює 3:10 = 0,3.
10. Перед початком першого туру чемпіонату з бадмінтону учасників розбивають на ігрові пари випадковим чином за допомогою жеребу. Загалом у чемпіонаті бере участь 26 бадмінтоністів, серед яких 10 учасників із Росії, зокрема Руслан Орлов. Знайдіть ймовірність того, що в першому турі Руслан Орлов гратиме з будь-яким бадмінтоністом із Росії?Рішення: У першому турі Руслан Орлов може зіграти з 26 − 1 = 25 бадмінтоністами, з яких 10 − 1 = 9 із Росії. Отже, ймовірність того, що в першому турі Руслан Орлов гратиме з будь-яким бадмінтоністом з Росії, дорівнює 9:25 = 0,36
11.У збірці квитків з біології всього 55 квитків, в 11 з них зустрічається питання з ботаніки. Знайдіть ймовірність того, що у випадково обраному на іспиті квитку школяреві дістанеться питання з ботаніки.Рішення: 11: 55 = 0,2
12.На чемпіонаті зі стрибків у воду виступають 25 спортсменів, серед них 8 стрибунів з Росії та 9 стрибунів з Парагваю. Порядок виступів визначається жеребкуванням. Знайдіть ймовірність того, що шостим виступатиме стрибун з Парагваю.
13.Дві фабрики випускають однакові стекла для автомобільних фар. Перша фабрика випускає 30% цього скла, друга - 70%. Перша фабрика випускає 3% бракованого скла, а друга - 4%. Знайдіть ймовірність того, що випадково куплене в магазині скло виявиться бракованим.
Рішення. Перекладаємо %% у дроби.
Подія А - "Куплене скло першої фабрики". Р(А)=0,3
Подія В - "Куплене скло другої фабрики". Р(В)=0,7
Подія Х - "Скло браковане".
Р(А та Х) = 0.3 * 0.03 = 0.009
Р(В і Х) = 0.7 * 0.04 = 0.028 За формулою повної ймовірності: Р = 0.009 +0.028 = 0.037
14. Якщо гросмейстер А. грає білими, то він виграє у гросмейстера Б. з ймовірністю 0,52. Якщо А. грає чорними, то А. виграє Б. з ймовірністю 0,3. Гросмейстери А. і Б. грають дві партії, причому у другій партії змінюють колір фігур. Знайдіть ймовірність того, що А. виграє обидва рази. Рішення: 0,52 * 0,3 = 0,156.
15.Вася, Петя, Коля та Льоша кинули жереб - кому починати гру. Знайдіть ймовірність того, що розпочинати гру повинен буде Петя.
Рішення: Випадковий експеримент – кидання жереба.
У цьому експерименті елементарною подією є учасник, який виграв жереб.
Перелічимо можливі елементарні події:
(Вася), (Петя), (Коля), (Льоша).
Їх буде 4, тобто. N=4. Жереб має на увазі, що всі елементарні події рівноможливі.
Події A= (жереб виграв Петя) сприяє лише одне елементарне подія (Петя). Тому N(A)=1.
Тоді P(A)=0,25Відповідь: 0,25.
16. У чемпіонаті світу беруть участь 16 команд. За допомогою жереба їх потрібно розділити на чотири групи з чотирьох команд у кожній. У ящику впереміш лежать картки з номерами груп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капітани команд тягнуть по одній картці. Яка ймовірність того, що команда Росії опиниться у другій групі?Рішення: Усього результатів -16.Из них сприятливих, тобто. з номером 2, буде 4. Значить, 4: 16 = 0,25
17.На іспиті з геометрії школяру дістається одне питання зі списку екзаменаційних питань. Імовірність того, що це питання на тему «Вписане коло» дорівнює 0,2. Імовірність того, що це питання на тему «Паралелограм», дорівнює 0,15. Запитань, які одночасно стосуються цих двох тем, немає. Знайдіть ймовірність того, що на іспиті школяру дістанеться питання з однієї з цих двох тем.
= (Питання на тему «Вписане коло»),
= (Питання на тему «Паралелограм»).
Подіїі несумісні, оскільки за умовою у списку немає питань, які стосуються цих двох тем одночасно.
Подія= (питання за однією з цих двох тем) є їх об'єднанням:.
Застосуємо формулу складання ймовірностей несумісних подій:
.
18. У торговому центрі два однакові автомати продають каву. Імовірність того, що до кінця дня в автоматі закінчиться кава, дорівнює 0,3. Імовірність того, що кава закінчиться в обох автоматах, дорівнює 0,12. Знайдіть ймовірність того, що до кінця дня кава залишиться в обох автоматах.
Визначимо події
= (кава закінчиться у першому автоматі),
= (кава закінчиться у другому автоматі).
За умовою завданняі .
За формулою складання ймовірностей знайдемо ймовірність події
і = (кава закінчиться хоча б в одному з автоматів):
.
Отже, ймовірність протилежної події (кава залишиться в обох автоматах) дорівнює
.
19. Біатлоніст п'ять разів стріляє по мішенях. Імовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайдіть ймовірність того, що біатлоніст перші три рази потрапив у мішені, а останні два промахнувся. Результат округліть до сотих.
У цьому завдання передбачається, що результат кожного наступного пострілу не залежить від попередніх. Тому події «потрапив за першого пострілу», «потрапив за другого пострілу» тощо. незалежні.
Імовірність кожного влучення дорівнює. Значить, ймовірність кожного промаху дорівнює. Скористайтеся формулою множення ймовірностей незалежних подій. Отримуємо, що послідовність
= (влучив, влучив, влучив, промахнувся, промахнувся) має можливість
=
=. Відповідь: .
20. У магазині стоять два платіжні автомати. Кожен може бути несправний з ймовірністю 0,05 незалежно від іншого автомата. Знайдіть ймовірність того, що хоча б один автомат справний.
У цьому вся задачі також передбачається незалежність роботи автоматів.
Знайдемо ймовірність протилежної події
= (обидва автомати несправні).
Для цього використовуємо формулу множення ймовірностей незалежних подій:
.
Отже, ймовірність події= (хоча б один автомат справний) дорівнює. Відповідь: .
21.Приміщення висвітлюється ліхтарем із двома лампами. Імовірність перегорання однієї лампи протягом року дорівнює 0,3. Знайдіть ймовірність того, що протягом року хоч одна лампа не перегорить.Рішення: Обидві перегорять (Події незалежні та користуємося формулою добутку ймовірностей) з ймовірністю p1=0,3⋅0,3=0,09
Протилежна подія(НЕ обидві перегорять = ОДНА хоча б не перегорить)
станеться з ймовірністю p=1-p1=1-0,09=0,91
ВІДПОВІДЬ: 0,91
22.Вірогідність того, що новий електричний чайник прослужить більше року, дорівнює 0,97. Імовірність того, що він прослужить понад два роки, дорівнює 0,89. Знайдіть ймовірність того, що він прослужить менше двох років, але більше року
Рішення.
Нехай A = "чайник прослужить більше року, але менше двох років", В = "чайник прослужить більше двох років", тоді A + B = "чайник прослужить більше року".
Події A та В спільні, ймовірність їх суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій, зменшеній на ймовірність їх твору. Імовірність твору цих подій, що полягає в тому, що чайник вийде з ладу рівно через два роки – строго того ж дня, годину та секунду – дорівнює нулю. Тоді:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B),
звідки, використовуючи дані умови, отримуємо 0,97 = P(A) + 0,89.
Тим самим, для ймовірності маємо: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.
23. Агрофірма закуповує курячі яйця у двох домашніх господарствах. 40% яєць із першого господарства – яйця вищої категорії, а з другого господарства – 20% яєць вищої категорії. Загалом вищу категорію отримує 35% яєць. Знайдіть ймовірність того, що яйце, куплене у цієї агрофірми, виявиться з першого господарства.Рішення: Нехай у першому господарстві агрофірма закуповуєяєць, у тому числі, яєць вищої категорії, а у другому господарстві -яєць, у тому числі яєць найвищої категорії. Тим самим всього агроформа закуповуєяєць, у тому числі яєць найвищої категорії. За умовою вищу категорію мають 35% яєць, тоді:
Тому ймовірність того, що куплене яйце виявиться з першого господарства, дорівнює =0,75
24.На клавіатурі телефону 10 цифр, від 0 до 9. Яка ймовірність того, що випадково натиснута цифра буде парною?
25.Яка ймовірність того, що випадково обране натуральне число від 10 до 19 ділиться на три?
26. Ковбой Джон потрапляє у муху на стіні з ймовірністю 0,9, якщо стріляє з пристріляного револьвера. Якщо Джон стріляє з непристріляного револьвера, він потрапляє на муху з ймовірністю 0,2. На столі лежить 10 револьверів, з них лише 4 пристріляні. Ковбой Джон бачить на стіні муху, навмання вистачає перший-ліпший револьвер і стріляє в муху. Знайдіть ймовірність того, що Джон промахнеться. Рішення: Джон потрапляє в муху, якщо схопить пристріляний револьвер і потрапить із нього, або якщо схопить непристріляний револьвер і потрапляє з нього. За формулою умовної ймовірності, ймовірності цих подій рівні відповідно 0,4 0,9 = 0,36 і 0,6 0,2 = 0,12. Ці події несумісні, ймовірність їхньої суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій: 0,36 + 0,12 = 0,48. Подія, що полягає в тому, що Джон схибне, протилежна. Його ймовірність дорівнює 1 - 0,48 = 0,52.
27. У групі туристів 5 осіб. За допомогою жереба вони обирають двох людей, які мають іти до села за продуктами. Турист А. хотів би сходити в магазин, але він підкоряється жеребу. Яка ймовірність того, що А. піде до магазину?Рішення: Усього туристів п'ять, випадково з них обирають двох. Імовірність бути обраним дорівнює 2:5 = 0,4. Відповідь: 0,4.
28. Перед початком футбольного матчу суддя кидає монетку, щоб визначити, яка з команд розпочне гру з м'ячем. Команда "Фізік" грає три матчі з різними командами. Знайдіть ймовірність того, що в цих іграх «Фізик» виграє жереб рівно двічі.Рішення: Позначимо "1" той бік монети, який відповідає за виграш жереба "Фізиком", інший бік монети позначимо "0". Тоді сприятливих комбінацій три: 110, 101, 011, а всього комбінацій 2 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Тим самим шукана ймовірність дорівнює:
29. Гральний кубик кидають двічі. Скільки елементарних наслідків досвіду сприяють події «А = сума очок дорівнює 5»? Рішення: Сума очок може дорівнювати 5 у чотирьох випадках: «3 + 2», «2 + 3», «1 + 4», «4 + 1». Відповідь: 4.
30.У випадковому експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що настане результат ОР (вперше випадає орел, вдруге - решка).Рішення: Усього можливих результатів - чотири: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Сприятливим є одне: орел-решка. Отже, ймовірність, що шукається, дорівнює 1: 4 = 0,25. Відповідь: 0,25.
31.На рок-фестивалі виступають гурти - по одній від кожної із заявлених країн. Порядок виступу визначається жеребом. Яка ймовірність того, що гурт із Данії виступатиме після групи зі Швеції та після групи з Норвегії? Результат округліть до сотих.Рішення: Загальна кількість виступаючих на фестивалі гуртів для відповіді на запитання не має значення. Скільки б їх не було, для зазначених країн є 6 способів взаємного розташування серед виступаючих (Д – Данія, Ш – Швеція, Н – Норвегія):
Д...Ш...Н..., ...Д...Н...Ш..., ...Ш...Н...Д..., ...Ш. ..Д...Н..., ...Н...Д...Ш..., ...Н...Ш...Д...
Данія перебуває після Швеції та Норвегії у двох випадках. Тому ймовірність того, що групи випадково будуть розподілені саме так, дорівнюєВідповідь: 0,33.
32.При артилерійській стрільбі автоматична система робить постріл за мету. Якщо ціль не знищена, то система робить повторний постріл. Постріли повторюються доти, доки ціль не буде знищена. Імовірність знищення певної мети при першому пострілі дорівнює 0,4, а за кожним наступним - 0,6. Скільки пострілів знадобиться для того, щоб ймовірність знищення мети була не менше 0,98?Рішення: Можна розв'язувати задачу «за діями», обчислюючи ймовірність вціліти після низки послідовних промахів: Р(1) = 0,6. Р(2) = Р(1) 0,4 = 0,24. Р(3) = Р(2) 0,4 = 0,096. Р(4) = Р(3) 0,4 = 0,0384; Р(5) = Р(4) 0,4 = 0,01536. Остання ймовірність менша за 0,02, тому достатньо п'яти пострілів по мішені.
33. Щоб пройти до наступного кола змагань, футбольній команді потрібно набрати хоча б 4 очки у двох іграх. Якщо команда виграє, вона отримує 3 очки, у разі нічиєї – 1 очко, якщо програє – 0 очок. Знайдіть ймовірність, що команді вдасться вийти в наступне коло змагань. Вважайте, що у кожній грі ймовірності виграшу та програшу однакові та рівні 0,4. Рішення : Команда може отримати не менше 4 очок у двох іграх трьома способами: 3+1, 1+3, 3+3. Ці події несумісні, ймовірність їхньої суми дорівнює сумі їх ймовірностей. Кожна з цих подій є твіром двох незалежних подій - результату в першій і в другій грі. Звідси маємо:
34.У деякому місті з 5000 немовлят, що з'явилися на світ, 2512 хлопчиків. Знайдіть частоту народження дівчат у цьому місті. Результат округліть до тисячних.Рішення: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498
35.На борту літака 12 місць поряд із запасними виходами та 18 місць за перегородками, що розділяють салони. Інші місця незручні для пасажира високого зросту. Пасажир Ст високого зростання. Знайдіть ймовірність того, що на реєстрації при випадковому виборі місця пасажиру В. дістанеться зручне місце, якщо всього в літаку 300 місць.Рішення : У літаку 12 + 18 = 30 місць зручні пасажиру Ст, а всього в літаку 300 місць. Тому ймовірність того, що пасажиру Ст дістанеться зручне місце дорівнює 30: 300 = 0,1. Відповідь: 0,1.
36.На олімпіаді у вузі учасників розсаджують за трьома аудиторіями. У перших двох по 120 осіб, що залишилися, проводять у запасну аудиторію в іншому корпусі. За підрахунком з'ясувалося, що всього було 250 учасників. Знайдіть ймовірність, що випадково обраний учасник писав олімпіаду в запасний аудиторії.Рішення: Загалом у запасну аудиторію направили 250 – 120 – 120 = 10 осіб. Тому ймовірність того, що випадково обраний учасник писав олімпіаду в запасній аудиторії, дорівнює 10: 250 = 0,04. Відповідь: 0,04.
37. У класі 26 осіб, серед них два близнюки – Андрій та Сергій. Клас випадково ділять на дві групи по 13 осіб у кожній. Знайдіть ймовірність того, що Андрій та Сергій опиняться в одній групі.Рішення: Нехай один із близнюків перебуває у певній групі. Разом з ним у групі опиняться 12 осіб з 25 однокласників, що залишилися. Імовірність того, що другий близнюк виявиться серед цих 12 осіб, дорівнює 12: 25 = 0,48.
38.У фірмі таксі в наявності 50 легкових автомобілів; 27 їх чорні з жовтими написами на бортах, інші - жовті з чорними написами. Знайдіть ймовірність того, що на випадковий дзвінок приїде машина жовтого кольору з чорними написами.Рішення: 23:50 = 0,46
39. У групі туристів 30 осіб. Їх гелікоптером у кілька прийомів закидають у важкодоступний район по 6 осіб за рейс. Порядок, у якому вертоліт перевозить туристів, випадковий. Знайдіть ймовірність того, що турист П. полетить першим рейсом вертольота.Рішення: На першому рейсі 6 місць, всього місць 30. Тоді ймовірність того, що турист П. полетить першим рейсом вертольота, дорівнює: 6:30 = 0,2
40. Імовірність того, що новий DVD-програвач протягом року надійде у гарантійний ремонт, дорівнює 0,045. У деякому місті із 1000 проданих DVD-програвачів протягом року до гарантійної майстерні надійшла 51 штука. Наскільки відрізняється частота події «гарантійний ремонт» від його ймовірності у цьому місті?Рішення: Частота (відносна частота) події "гарантійний ремонт" дорівнює 51: 1000 = 0,051. Вона відрізняється від передбаченої ймовірності 0,006.
41.При виготовленні підшипників діаметром 67 мм ймовірність того, що діаметр відрізнятиметься від заданого не більше, ніж на 0,01 мм, дорівнює 0,965. Знайдіть ймовірність того, що випадковий підшипник матиме діаметр менше, ніж 66,99 мм або більше, ніж 67,01 мм.Рішення. За умовою діаметр підшипника лежатиме в межах від 66,99 до 67,01 мм з ймовірністю 0,965. Тому ймовірність протилежної події дорівнює 1 − 0,965 = 0,035.
42.Ймовірність того, що на тесті з біології учень О. правильно вирішить більше 11 завдань, дорівнює 0,67. Імовірність того, що О. правильно вирішить більше 10 завдань, дорівнює 0,74. Знайдіть ймовірність того, що О. правильно вирішить рівно 11 завдань.Рішення: Розглянемо події A = "учень вирішить 11 завдань" і В = "учень вирішить більше 11 завдань". Їхня сума - подія A + B = «учень вирішить більше 10 завдань». Події A та В несумісні, ймовірність їх суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій: P(A + B) = P(A) + P(B). Тоді, використовуючи ці завдання, отримуємо: 0,74 = P(A) + 0,67, звідки P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Відповідь: 0,07.
43. Щоб вступити до інституту на спеціальність «Лінгвістика», абітурієнт має набрати на ЄДІ не менше 70 балів з кожного з трьох предметів – математика, російська та іноземна мова. Щоб вступити на спеціальність «Комерція», потрібно набрати не менше 70 балів за кожним із трьох предметів – математика, російська мова та суспільствознавство. Імовірність того, що абітурієнт З. отримає не менше 70 балів з математики, дорівнює 0,6, російською мовою - 0,8, іноземною мовою - 0,7 і за суспільствознавством - 0,5. Знайдіть ймовірність того, що З. зможе надійти хоча б на одну із двох згаданих спеціальностей.Рішення: Для того, щоб вступити хоч кудись, З. потрібно здати і російську, і математику як мінімум на 70 балів, а крім цього ще здати іноземну мову або суспільствознавство не менше, ніж на 70 балів. Нехай A, B, C і D - це події, в яких З. здає відповідно математику, російську, іноземну та суспільствознавство не менше, ніж на 70 балів. Тоді оскільки
Для ймовірності надходження маємо:
44.На фабриці керамічного посуду 10% вироблених тарілок мають дефект. Під час контролю якості продукції виявляється 80% дефектних тарілок. Інші тарілки надходять у продаж. Знайдіть ймовірність того, що випадково обрана при покупці тарілка не має дефектів. Відповідь округліть до сотих.Рішення : Нехай завод виробивтарілок. У продаж надійдуть усі якісні тарілки та 20% невиявлених дефектних тарілок:тарілок. Оскільки якісних із них, Імовірність купити якісну тарілку дорівнює 0,9 п: 0,92 п = 0,978 Відповідь: 0,978.
45. У магазині три продавці. Кожен із них зайнятий з клієнтом із ймовірністю 0,3. Знайдіть ймовірність того, що у випадковий момент часу всі три продавці зайняті одночасно (вважайте, що клієнти заходять незалежно один від одного).Рішення : Імовірність твору незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій Тому ймовірність того, що всі три продавці зайняті, дорівнює
46. За відгуками покупців Іван Іванович оцінив надійність двох інтернет-магазинів. Імовірність того, що потрібний товар доставлять із магазину А, дорівнює 0,8. Імовірність того, що цей товар доставлять із магазину Б, дорівнює 0,9. Іван Іванович замовив товар одразу в обох магазинах. Вважаючи, що інтернет-магазини працюють незалежно один від одного, знайдіть ймовірність того, що жоден магазин не доставить товар.Рішення: Імовірність того, що перший магазин не доставить товар, дорівнює 1 − 0,9 = 0,1. Імовірність того, що другий магазин не доставить товар, дорівнює 1 − 0,8 = 0,2. Оскільки ці події незалежні, ймовірність їхнього твору (обидва магазини не доставлять товар) дорівнює твору ймовірностей цих подій: 0,1 · 0,2 = 0,02
47.Із районного центру до села щодня ходить автобус. Імовірність того, що у понеділок в автобусі виявиться менше 20 пасажирів, дорівнює 0,94. Імовірність того, що виявиться меншою за 15 пасажирів, дорівнює 0,56. Знайдіть ймовірність того, що кількість пасажирів буде від 15 до 19.Рішення: Розглянемо події A = "в автобусі менше 15 пасажирів" і В = "в автобусі від 15 до 19 пасажирів". Їхня сума - подія A + B = «в автобусі менше 20 пасажирів». Події A та В несумісні, ймовірність їх суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій: P(A + B) = P(A) + P(B). Тоді, використовуючи ці завдання, отримуємо: 0,94 = 0,56 + P(В), звідки P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Відповідь: 0,38.
48. Перед початком волейбольного матчу капітани команд тягнуть чесний жереб, щоб визначити, яка з команд розпочне гру з м'ячем. Команда «Статор» по черзі грає з командами «Ротор», «Мотор» та «Стартер». Знайдіть ймовірність того, що «Статор» розпочинатиме лише першу та останню гри.Рішення. Потрібно знайти ймовірність добутку трьох подій: «Статор» починає першу гру, не починає другу гру, починає третю гру. Імовірність твору незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій. Імовірність кожного їх дорівнює 0,5, звідки знаходимо: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Відповідь: 0,125.
49. У Чарівній країні буває два типи погоди: хороша та відмінна, причому погода, встановившись вранці, тримається незмінною весь день. Відомо, що із ймовірністю 0,8 погода завтра буде такою самою, як і сьогодні. Сьогодні 3 липня погода у Чарівній країні хороша. Знайдіть ймовірність того, що 6 липня у Чарівній країні буде чудова погода.Рішення. Для погоди на 4, 5 та 6 липня є 4 варіанти: ХХО, ХОО, ОХО, ТОВ (тут Х – хороша, О – чудова погода). Знайдемо ймовірність наступу такої погоди: P(XXO) = 0,8 · 0,8 · 0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8 · 0,2 · 0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008; P(OOO) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128. Зазначені події несумісні, ймовірність їхньої суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій: P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ТОВ) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.
50.Всім пацієнтам із підозрою на гепатит роблять аналіз крові. Якщо аналіз виявляє гепатит, то результат аналізу називаєтьсяпозитивним . У хворих на гепатит пацієнтів аналіз дає позитивний результат з ймовірністю 0,9. Якщо пацієнт не хворий на гепатит, то аналіз може дати помилковий позитивний результат з ймовірністю 0,01. Відомо, що 5% пацієнтів, які надходять із підозрою на гепатит, дійсно хворі на гепатит. Знайдіть ймовірність того, що результат аналізу у пацієнта, який надійшов до клініки з підозрою на гепатит, буде позитивним.Рішення . Аналіз пацієнта може бути позитивним з двох причин: А) пацієнт хворіє на гепатит, його аналіз вірний; B) пацієнт не хворіє на гепатит, його аналіз складний. Це несумісні події, ймовірність їхньої суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій. Маємо: р (А) = 0,9 0,05 = 0,045; р(В) = 0,01 0,95 = 0,0095; р(А+В)=Р(А)+р(В)=0,045+0,0095=0,0545.
51. У кишені у Миші було чотири цукерки – «Грильяж», «Білочка», «Корівка» та «Ластівка», а також ключі від квартири. Виймаючи ключі, Мишко випадково випустив з кишені одну цукерку. Знайдіть ймовірність того, що загубилася цукерка "Грильяж".
52. Механічний годинник з дванадцятигодинним циферблатом в якийсь момент зламався і перестав ходити. Знайдіть ймовірність того, що годинникова стрілка застигла, досягнувши позначки 10, але не дійшовши до позначки 1 год. Рішення: 3: 12 = 0,25
53.Вірогідність того, що батарейка бракована, дорівнює 0,06. Покупець у магазині вибирає випадкову упаковку, в якій дві такі батареї. Знайдіть ймовірність того, що обидві батарейки виявляться справними.Рішення: Імовірність того, що батарейка справна, дорівнює 0,94. Імовірність добутку незалежних подій (обидві батарейки виявляться справними) дорівнює добутку ймовірностей цих подій: 0,94 · 0,94 = 0,8836. Відповідь: 0,8836.
54.Автоматична лінія виготовляє батарейки. Імовірність того, що готова батарея несправна, дорівнює 0,02. Перед упакуванням кожна батарея проходить систему контролю. Імовірність того, що система забракує несправну батарею, дорівнює 0,99. Імовірність того, що система помилково забракує справну батарейку, дорівнює 0,01. Знайдіть ймовірність того, що випадково обрана виготовлена батарея буде забракована системою контролю.Рішення. Ситуація, за якої батарейка буде забракована, може скластися в результаті подій: A = батарейка справді несправна і забракована справедливо або В = батарейка справна, але помилково забракована. Це несумісні події, ймовірність їхньої суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій. Маємо:
55. На малюнку зображено лабіринт. Павук заповзає до лабіринту у точці «Вхід». Розвернутися і повзти назад павук не може, тому на кожному розгалуженні павук вибирає один із шляхів, яким ще не повз. Вважаючи, що вибір подальшого шляху чисто випадковий, визначте, з якою ймовірністю павук прийде до виходу.
Рішення.
На кожній з чотирьох зазначених розвилок павук з ймовірністю 0,5 може вибрати шлях, що веде до виходу D, або інший шлях. Це незалежні події, ймовірність їхнього твору (павук дійде до виходу D) дорівнює добутку ймовірностей цих подій. Тому можливість прийти до виходу D дорівнює (0,5) 4 = 0,0625.
Події, які відбуваються реально або у нашій уяві, можна поділити на 3 групи. Це достовірні події, які обов'язково відбудуться, неможливі події та випадкові події. Теорія ймовірностей вивчає випадкові події, тобто. події, які можуть статися чи не відбутися. У цій статті буде представлена в короткому вигляді теорія ймовірності формули та приклади вирішення задач з теорії ймовірності, які будуть у 4 завданні ЄДІ з математики (профільний рівень).
Навіщо потрібна теорія ймовірності
Історично потреба дослідження цих проблем виникла у XVII столітті у зв'язку з розвитком та професіоналізацією азартних ігор та появою казино. Це було реальне явище, яке вимагало свого вивчення та дослідження.
Гра в карти, кістки, рулетку створювала ситуації, коли могло статися будь-яке з кінцевого числа рівноможливих подій. Виникла необхідність дати числові оцінки можливості настання тієї чи іншої події.
У XX столітті з'ясувалося, що ця, начебто, легковажна наука відіграє важливу роль у пізнанні фундаментальних процесів, що протікають у мікросвіті. Було створено сучасну теорію ймовірностей.
Основні поняття теорії ймовірності
Об'єктом вивчення теорії ймовірностей є події та їх ймовірності. Якщо подія є складною, її можна розбити на прості складові, ймовірності яких знайти нескладно.
Сумою подій А і В називається подія С, що полягає в тому, що сталося або подія А, або подія, або події А і В одночасно.
Добутком подій А і В називається подія С, що полягає в тому, що сталося і подія А і подія.
Події А та В називається несумісними, якщо вони не можуть статися одночасно.
Подія А називається неможливою, якщо вона не може статися. Така подія позначається символом.
Подія А називається достовірною, якщо вона обов'язково станеться. Така подія позначається символом.
Нехай кожній події А поставлено у відповідність число P(А). Це число P(А) називається ймовірністю події А, якщо за такої відповідності виконані такі умови.
Важливим окремим випадком є ситуація, коли є рівноймовірні елементарні результати, і довільні з цих результатів утворюють події А. У цьому випадку ймовірність можна ввести за формулою . Імовірність, введена в такий спосіб, називається класичною ймовірністю. Можна довести, що в цьому випадку властивості 1-4 виконані.
Завдання з теорії ймовірностей, що зустрічаються на ЄДІ з математики, в основному пов'язані з класичною ймовірністю. Такі завдання можуть бути дуже простими. Особливо простими є завдання з теорії ймовірностей у демонстраційних варіантах. Легко обчислити число сприятливих наслідків , у умови написано число всіх результатів .
Відповідь отримуємо за формулою.
Приклад завдання з ЄДІ з математики з визначення ймовірності
На столі лежать 20 пиріжків - 5 з капустою, 7 з яблуками та 8 з рисом. Марина хоче взяти пиріжок. Яка ймовірність, що вона візьме пиріжок із рисом?
Рішення.
Усього рівноймовірних елементарних результатів 20, тобто Марина може взяти будь-який із 20 пиріжків. Але нам потрібно оцінити ймовірність того, що Марина візьме пиріжок з рисом, тобто де А — це вибір пиріжка з рисом. Значить у нас кількість сприятливих результатів (виборів пиріжків з рисом) лише 8. Тоді ймовірність визначатиметься за формулою:
Незалежні, протилежні та довільні події
Однак у відкритому банку завдань стали зустрічатися і складніші завдання. Тому звернемо увагу читача та інші питання, вивчені теорії ймовірностей.
Події А та В називається незалежними, якщо ймовірність кожного з них не залежить від того, чи відбулася інша подія.
Подія B у тому, що А не відбулося, тобто. подія B є протилежною до події А. Ймовірність протилежної події дорівнює одиниці мінус ймовірність прямої події, тобто. .
Теореми складання та множення ймовірностей, формули
Для довільних подій А і В ймовірність суми цих подій дорівнює сумі ймовірностей без ймовірності їх спільної події, тобто. .
Для незалежних подій А і В імовірність добутку цих подій дорівнює добутку їх ймовірностей, тобто. в цьому випадку .
Останні 2 твердження називаються теоремами складання та множення ймовірностей.
Не завжди підрахунок числа наслідків є настільки простим. У ряді випадків потрібно використовувати формули комбінаторики. При цьому найбільш важливим є підрахунок числа подій, які відповідають певним умовам. Іноді такі підрахунки можуть ставати самостійними завданнями.
Скільки способами можна посадити 6 учнів на 6 вільних місць? Перший учень займе будь-яке із 6 місць. Кожному з цих варіантів відповідає 5 способів зайняти місце другому учню. Для третього учня залишається 4 вільні місця, для четвертого - 3, для п'ятого - 2, шостий займе єдине місце, що залишилося. Щоб знайти число всіх варіантів, треба знайти твір, який позначається 6 символом! і читається "шість факторіал".
У загальному випадку відповідь на це питання дає формула для числа перестановок з п елементів У нашому випадку.
Розглянемо тепер інший випадок із нашими учнями. Скільки способами можна посадити 2 учнів на 6 вільних місць? Перший учень займе будь-яке із 6 місць. Кожному з цих варіантів відповідає 5 способів зайняти місце другому учню. Щоб знайти число всіх варіантів, треба знайти твір.
У загальному випадку відповідь на це питання дає формула для числа розміщень з n елементів по k елементам
У нашому випадку .
І останній випадок із цієї серії. Скільки можна вибрати трьох учнів з 6? Першого учня можна вибрати 6 способами, другого – 5 способами, третього – чотирма. Але серед цих варіантів 6 разів зустрічається та сама трійка учнів. Щоб визначити число всіх варіантів, треба обчислити величину: . У загальному випадку відповідь на це питання дає формула для числа поєднань з елементів за елементами:
У нашому випадку .
Приклади розв'язання задач з ЄДІ з математики визначення ймовірності
Завдання 1. Зі збірки під ред. Ященко.
На тарілці 30 пиріжків: 3 з м'ясом, 18 з капустою та 9 з вишнею. Сашко навмання вибирає один пиріжок. Знайдіть ймовірність того, що він опиниться з вишнею.
.
Відповідь: 0,3.
Завдання 2. Зі збірки під ред. Ященко.
У кожній партії з 1000 лампочок загалом 20 бракованих. Знайдіть ймовірність того, що навмання взята лампочка з партії буде справною.
Рішення: Кількість справних лампочок 1000-20 = 980. Тоді ймовірність того, що взята навмання лампочка з партії буде справною.
Відповідь: 0,98.
Імовірність того, що на тестуванні з математики учень У. правильно вирішить більше 9 завдань, дорівнює 0,67. Імовірність того, що У. правильно вирішить більше 8 завдань, дорівнює 0,73. Знайдіть ймовірність того, що У. правильно вирішить рівно 9 задач.
Якщо ми уявімо числову пряму і на ній відзначимо точки 8 і 9, то побачимо, що умова «У. вірно вирішить рівно 9 завдань» входить до умови «У. правильно вирішить більше 8 завдань», але не належить до умови «У. правильно вирішить більше 9 завдань».
Однак умова «У. вірно вирішить більше 9 завдань» міститься за умови «У. правильно вирішить понад 8 завдань». Отже, якщо ми позначимо події: «У. правильно вирішить рівно 9 завдань» - через А, «У. правильно вирішить більше 8 завдань» - через B, «У. вірно вирішить більше 9 завдань через С. То рішення буде виглядати наступним чином:
Відповідь: 0,06.
На іспиті з геометрії школяр відповідає одне питання зі списку екзаменаційних питань. Імовірність того, що це питання на тему «Тригонометрія», дорівнює 0,2. Імовірність того, що це питання на тему «Зовнішні кути», дорівнює 0,15. Запитань, які одночасно стосуються цих двох тем, немає. Знайдіть ймовірність того, що на іспиті школяру дістанеться питання з однієї з цих двох тем.
Давайте подумаємо, які у нас дані події. Нам дано дві несумісні події. Тобто або питання ставитиметься до теми «Тригонометрія», або до теми «Зовнішні кути». За теоремою ймовірності ймовірність несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей кожної події, ми повинні знайти суму ймовірностей цих подій, тобто:
Відповідь: 0,35.
Приміщення висвітлюється ліхтарем із трьома лампами. Імовірність перегорання однієї лампи протягом року дорівнює 0,29. Знайдіть ймовірність того, що протягом року хоч одна лампа не перегорить.
Розглянемо можливі події. У нас є три лампочки, кожна з яких може перегоріти або не перегоріти незалежно від будь-якої іншої лампочки. Це незалежні події.
Тоді зазначимо варіанти таких подій. Приймемо позначення: лампочка горить, лампочка перегоріла. І одразу поруч підрахуємо ймовірність події. Наприклад, ймовірність події, в якій відбулися три незалежні події «лампочка перегоріла», «лампочка горить», «лампочка горить»: де ймовірність події «лампочка горить» підраховується як ймовірність події, протилежної події «лампочка не горить», а саме: .